空间竞争模型与享受竞争模型

空间竞争模型 (spatial competition model)

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备选项包括N个空间属性：\vec a=(a_{1},a_{2},\dots,a_{N})
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做出选择的个体的理想点：\vec x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{N})
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个体选择了备选项后得到的收益（效用）等于：
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\pi(\vec x,\vec a)=C-(x_{1}-a_{1})^2-(x_{2}-a_{2})^2-\dots-(x_{N}-a_{N})^2，其中C>0是一个常数
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一般的空间竞争模型可以包括任意数量的属性。比如，沙发可以通过多个物理维度来描述：长度、宽度和深度，结构类型，以及室内装饰类型。消费者从产品中获得的价值（或效用）取决于产品在各个维度上与理想点的距离。我们可以将这种价值函数写为常数项减去备选项与消费者理想点之间的距离。

唐斯空间竞争模型

我们应用空间竞争模型来分析政治候选人的意识形态立场“定位”​。为了便于讨论，假设候选人都是追求投票最大化，也就是说，他们的首要目标是赢得选举。

自由派候选人有动机向中间位置移动。同样的逻辑，保守派候选人也有这样的动机。如果继续应用这个逻辑，我们会看到两个候选人应该会趋同到同一点上。这个结果就是通常所称的中位投票者定理(median voter theorem)，或称“中间选民定理”​。

哈维尔否认人可以简化为一点，即可以用数据进行检验的程度。但是，即便他的批评成立，即便不能根据投票记录来确定一个候选人的意识形态立场，我们也并不一定要放弃这个模型。我们可以通过赋予他一个区间（而不是一个点）来代表哈维尔所说的意识形态的不确定性。或者，可以为候选人构建一个意识形态时间序列，看他是否保持前后一致。一项对最高法院大法官意识形态立场的研究表明，对有些法官来说，担任法官的时间长了，立场会变得更加自由。

我们还可以增加模型的维度。一个二维模型可以区分社会政策和财政政策。我们可以用这样的模型刻画在社会政策上采取自由主义立场，同时在财政政策上采取保守主义立场的政客。

当且仅当选民理想点的排列，在从中位数出发的每个方向上都不到一半时，二维中位数才可能是不可击败的，这种情况称为径向对称(radial symmetry)。如果选民的理想点在圆形或正方形上均匀分布时，就满足径向对称，这无疑是一个非常强大的假设。任何位置都是有可能被击败的这个结果，被称为普洛特无赢家结果(Plott’s no-winner result)，它在两维或多维的情况下都成立。

结果的差异非常明显。一维模型意味着候选人要位于中位数立场，高维模型则意味着他们不应该这么做。一维模型揭示了追求选票最大的候选人有趋向温和政策的强大动机，高维模型则证明了这些动机的局限性。没有哪个位置可以保证获胜，所以不应该预期会出现均衡。

享受竞争模型 (hedonic competition model)

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备选项包括N个效价属性(valence \ attribute)：\vec{a} =(v_{1},v_{2},\dots,v_{N})
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个体用各个属性上的权重来表示：\vec{x}=(w_{1},w_{2},\dots,w_{N})
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该个体得自该备选项的收益（效用）为：\pi(\vec{x},\vec{a})=w_{1}\times v_{1}+\dots+w_{N}\times v_{N}
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在享受竞争模型中，各备选项（通常是各种产品）也是用属性来表示的。但是，在这种模型中，属性包括了质量、效率或价格，而且更多或者更少总是更受欢迎的。为了刻画异质性，享受竞争模型允许个体给不同维度赋予不同的权重。

利用线性回归方法，我们可以运用享受竞争模型推断商品属性的隐含价值。具体程序很简单。这种模型假设收益是商品属性和个人赋予权重的线性函数。如果我们获得了数千幢房子的售价以及关于这些房子属性的数据（面积、卧室和浴室的数量，当地学校的质量，院子的大小和建筑质量等）​，就可以通过产生回归估计出购买房屋的人赋予每个属性的平均权重（以美元计）​。这种回归方法通常称为享受回归。

产品竞争的混合模型

空间竞争模型和享受竞争模型在如何表示对各种属性的偏好这一点上有所不同。在空间竞争模型中，每个人对每种属性都有一个更偏好的水平，而且某个备选项在哪些维度上与他的理想点接近，对他来说价值就越大。而在享受竞争模型中，每个属性越多（或越少）​，人们就越喜欢。

例如，每个人也许都有各自喜欢的薯条脆度，但是所有人都希望每份食品的价格更低。脆度是空间属性，价格则是享受属性。

我们可以创建一个混合模型，让备选项同时包含空间属性和享受属性。这种混合模型可以用来分析市场进入、产品差异化竞争，以及价格竞争的激烈程度。

[!NOTE] 小结
这些模型都做出了相当强的、从经验上看相当可疑的假设。例如，在前面讨论的模型中，我们假设人们的偏好是不会改变的，他们不会屈服于社会压力。如果真的是这样的话，为什么企业和政客会花费大量金钱和资源去改变消费者和选民的偏好呢？对于这种批评，我们可以再次援引博克斯的格言来辩解：所有的模型都是错的。

估值模型

享受模型：这个模型根据商品的内在属性解释商品的价值。估值的差异取决于对商品属性的不同潜在偏好。这些属性可能是商品的物理组成部分。例如，一个五香熏牛肉三明治中包括了黑麦面包、五香熏牛肉、瑞士奶酪、芥末、泡菜和洋葱。然后，我们可以将它的价值写成这些组成部分的价值的加权线性组合。更精细的享受模型还可以包括交互项。例如，如果与烤黑麦面包一起售卖，那么五香熏牛肉可能会更有价值。

协调模型：这种模型将价格解释为社会建构的。戈雅画作的价值取决于其他人相信它真的有那么高的价值。在最初，人们对戈雅画作的价值有自己的看法。然后，他们与社会网络中的其他人互动并更新自己的看法。两个人都可以将他们的价值设定为等于两人估价的平均值，一个人可以改变他的估价以匹配另一个人给出的价值，或者每个人都可以根据其他人的估价来调整自己的估价。给定这三种假设中的任何一种，估价都可以实现局部收敛。这样，相互之间有联系的人将会具有类似的估值。分配给商品的最终价值将取决于价值的初始分布、社会网络以及配对发生的顺序。

预测模型：这类模型将价格解释为对未来价值的预测。根据这种模型，佛罗里达州奥卡拉市的土地价值、比特币或股票价值，都取决于人们将来愿意为它们付出多少钱。这些估值取决于预测模型，而预测模型又取决于属性和类别。我们可能会将奥卡拉市归类为气候温暖的、税率很低的非沿海城市。人们的估值的变化源于不同的预测模型。投资者会使用多种预测模型。这些模型可能依赖于属性，或者，就像对比特币进行估价一样，也会对协调做出假设。

这三种模型为商品的价值提供了三种不同的解释。没有任何一个模型在所有情况下都是最好的。在特定情况下，每个模型都可能成为最好的那个。模型就像箭袋中的箭。五香熏牛肉三明治的价值很可能来自其内在性质，戈雅画作的价值则可能在很大程度上是社会建构的—只要人们认为他的画作有价值，那么它们就有价值。对佛罗里达州土地价格的估计则可能取决于对未来房地产价值的预测。