随机游走

伯努利瓮模型 (Bernoulli urn model)

每一次，从一个装了G个灰球和W个白球的瓮中随机抽取一个球，结果等于抽取出来的球的颜色。在下一次抽取之前，球要先放回瓮中。
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令P=\frac{G}{(G+W)}表示灰球的比例。在抽取N次的情况下，灰球的期望数量N_{G}，及其标准差\sigma_{N_{G}}:
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N_{G}=N\times P,\sigma_{N_{G}}=\sqrt{N\times P\times(1-P)}
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有意思的是，如果瓮中白球的比例为P，那么连续抽取N个白球的概率等于P^N。
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通过计算概率，我们可以评估某种条纹是不是有可能出现（尽管很令人吃惊）​，或是几乎完全不可能（因而基本上可以肯定“有诈”​）​。

随机游走模型

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V_{t+1}=V_{t}+R(-1,1)
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其中，V_{t}表示时间t上的随机游走值，V_{0}=0，R(-1,1)是一个可能等于-1或1的随机变量。
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在任何时间段内，这个随机游走的期望值都等于零，且标准差为\sqrt{t}，其中的t等于周期数。
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⚠️：简单随机游走既是周期性的（会无限次地返回零点）​，又是无界性的（会超过任何正的或负的阈值）​。此外，返回零点所需的步数分布满足幂律。

简单随机游走模型只在一个维度上进行。

二维随机游走类似于在一张纸上绘制出来的一条弯弯曲曲的线，同时也满足递归性(recurrence)和无界性。这种递归性使随机觅食成了蚂蚁的一个觅食策略。如果二维随机游走不是递归性的，那么蚂蚁就需要更复杂的内部地图或更强的信息踪迹才能找到它们的巢穴。

但是在有三个维度的情况下，随机游走将不再满足递归性。在一个房间里到处飞的苍蝇和在空气中弹跳的分子都只会有限次地返回到它们的起点。

反直觉：
随机游走的无递归性为模型如何阐明我们的思考提供了一个很好的例子。直觉告诉我们，当添加维度时，返回起点的次数应该会减少，而逻辑则表明，这里会出现一个突然的变化。在一维和二维的情况下，随机游走会无限次地返回起点。而在三维的情况下，它将“永恒在外游荡”​。要得到这种结果必须利用数学，只靠直觉是不够的。

功能

  1. 使用随机游走估计网络规模：
    我们可以利用低维随机游走的递规性来估计某个网络的规模。方法很简单，随机选择一个节点，然后沿着网络的边开始随机游走，并跟踪它回到初始节点的频率。返回到初始节点所需的平均时间与网络的规模相关。

  2. 随机游走与有效市场
    事实已经证明，股票价格接近正态随机游走，带有正漂移，以获得市场收益。许多个股的价格也接近随机。股票价格可能遵循随机游走的原因是，聪明的投资者能够识别出并消除这种模式。
    一些经济学家将这种随机游走思想进行了扩展，提出了有效市场假说(efficient market hypothesis)。这个假说指出，在任何时候，股票的价格都反映了所有的相关信息，未来的价格必定遵循随机游走。有效市场假说依赖于一个自相矛盾的逻辑。因为要确定准确的价格需要付出时间和精力，财务分析师必须收集数据并构建模型。如果价格真的是随机游走的，所有这类活动都将无法得到预期的回报。然而，如果真的没有任何人花费时间和精力去估计价格，那么价格就会变得不准确，也就意味着人行道上会铺满百元钞票。
    简而言之，如果投资者相信有效市场假说，他们就会停止分析，从而导致市场效率低下；而如果投资者认为市场效率低下，他们就会应用模型进行分析，从而提高市场效率。
    从长远来看，有效市场假说或类似的假说是合理的。但是从短期来看，押注价格修正却可能存在不小的风险。

[!NOTE] 小结
从这些应用中，我们看到随机游走模型为评估时间序列提供了一个很有用的框架。我们不能被一两年的成功所愚弄，因为那并不意味着持续的卓越。在得出一般性的结论之前，必须应用多个模型，以避免“犯大错”的风险。也应该注意避免被某些“模式”所惑，看上去似乎是一个趋势，其实可能是随机。