传播模型

前提假设：
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假设存在一个相关人群，用N_{POP}表示。感染者或知情者用I_{t}表示,其余成员(易感者)用S_{t}表示。
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$$
相关人群的总人数等于感染者或知情者人数加上易感者人数的总和：N_{POP}=I_{t}+S_{t}
$$

广播模型 - R形

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I_{t+1}=I_{t}+P_{broad}\times S_{t}
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$$
其中，P_{broad}表示广播概率，I_{t}和S_{t}分别等于时间t上的知情者和易感者的数字。
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初始状态为I_{0}=0，且S_{0}=N_{POP}
$$
这个模型的目标是描述一个信息源传播信息的过程，可以是政府、企业或报纸。但是，这个模型不适用于在人与人之间传播的传染病或思想。由于广播模型更适合描述思想和信息的传播（而不是传染病的传播）​，所以我们在这里说知情者的人数，而不说感染者的人数。

扩散模型 - S形

扩散模型假设，当一个人采用了某种技术或患上了某种传染病时，这个人有可能将之传递或传染给与他接触的人。在传染传染病的情况下，个人的选择不会在其中发挥任何作用。技术的传播则与采用者的选择有关，因此更有用的技术被采用的概率更高。

将扩散概率(diffusion probability)定义为接触概率(contact probability)和分享概率(sharing probability)的乘积。

[!NOTE] ⚠️
扩散模型假定随机混合(random mixing)。随机混合的含义是，相关群体中任何两个人接触的可能性都相同。对于这个假设，我们应该保持警惕。

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I_{t+1}=I_{t}+P_{diffuse}\times\frac{I_{t}}{N_{POP}}\times S_{t}
$$
$$
其中，P_{diffuse}=P_{spread}\times P_{contact}
$$

巴斯模型 - R+S形

大多数消费品和信息都是通过广播和扩散传播的。而巴斯模型则将这两个过程组合在一起了。
巴斯模型中的差分方程等于广播模型和扩散模型中的差分方程之和。
在巴斯模型中，扩散概率越大，采用曲线的S形就越显著。
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I_{t+1}=P_{broad}\times S_{t}+P_{diffuse}\times\frac{I_{t}}{N_{POP}}\times S_{t}
$$
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其中，P_{broad}=广播概率，P_{diffuse}=扩散概率
$$

SIR模型

不同于上述三个模型的是，一旦有人采用了一项技术，则永远不会放弃它。SIR模型考虑到，将放弃所采用的某种事物的人称为痊愈者。
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I_{t+1}=I_{t}+P_{contact}\times P_{spread}\times\frac{I_{t}}{N_{POP}}\times S_{t}-P_{recover}\times I_{t}
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$$
其中，P_{contact}，P_{spread}和P_{recover}分别等于传染病的接触概率、传播概率和痊愈概率。
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SIR模型会产生一个临界点，就是所谓的基本再生数，也就是接触概率乘以扩散概率与痊愈概率之比。
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基本再生数R_{0}=\frac{P_{spread}\times P_{contact}}{P_{recover}}
$$
⚠️：这个模型意味着，这些概率只要发生了微小的变化，就可以使R0移动到高于零的水平，从而造成成功与失败之间的天壤之别。

如果存在疫苗，那么疫苗接种可以预防传染病传播。即便做不到每个人都接种疫苗，也可以预防传染病传播。必须接种疫苗的人的比例，即疫苗接种阈值(vaccination threshold)。我们可以从上述模型中推导出这个公式。
$$
V\ge\frac{R_{0}-1}{R_{0}}
$$
⚠️：有些人担心疫苗有副作用，选择不参加疫苗接种计划。如果这些人只占人口的一小部分，那么其他人接种疫苗也可以防止这些人感染这种传染病，流行病学家将这种现象称为群体免疫力。选择不接种疫苗的人事实上是搭了其他接种疫苗的人的便车

超级传播者与度的平方
如果将SIR模型嵌入到网络中，就会观察到度分布对传染病传播的重要性。
如果中心节点患上了某种传染病，那么它可以将传染病传播到任何一个其他节点。我们预计这种传染病会扩散，即便传播的概率很低也是如此。

对于中心辐射型网络，R0携带的信息量很有限，因为如果中心节点患上了传染病，传染病就会传播开来。流行病学家们将位置在度很高的中心节点上的人称为“超级传播者”(superspreaders)。

高度数节点不但能够更快地传播传染病，而且会更快地患上传染病。节点对传染病（或思想）传播的贡献与节点的度的平方相关。（这里涉及到被传染与传染，所以是平方）

如果节点A的度数是节点B的K倍，那么节点A传播传染病的可能性是节点B的K倍，同时传染病传播到节点A的概率也是节点B的K倍。因此，节点A对传染病传播的总效应将是节点B的K2倍。这种现象被称为度的平方。

小结

在SIR模型中，我们推导出了两个关键阈值，即R0和疫苗接种阈值。这两个阈值都是属于敏感依赖于环境的临界点，环境（情境）中的微小变化都会对结果产生很大的影响。这种临界点不同于直接临界点(direct tipping point)。在直接临界点，特定时刻的微小行动会永久性地改变系统的路径。直接临界点出现不稳定的点是，例如当球停在山顶上时。在任一方向上稍微推一下，都将会使球从山的这一侧或另一侧滚下去，这个小小推动是一个直接的倾覆。

而在依赖于环境的临界点上，参数的变化会改变系统的行为方式。在直接临界点上，未来的结果轨迹急转直下。折弯，例如由扩散模型产生的S形采用曲线中的第一个弯曲，不满足这两种临界点的定义。采用曲线中的折弯对应于斜率增长率最大的点。在那一点上，扩散一发不可收拾，但是并没有发生倾覆。

在将广播模型、扩散模型和传染模型应用于社会现象时，我们可能会发现某些假设是成立的，而其他一些假设则不能成立。在这些情况下，我们可能必须对基本模型进行修正。例如，允许每次接触的采用概率会随着接触次数的增多而增大。

熵：对不确定性建模

信息熵

熵是用来度量与结果的概率分布相关的不确定性的。因此，它也可以衡量意外。

熵与方差不同，方差度量一个数值集合或数值分布的离散程度。不确定性与离散程度有关，但是两者并不是一回事。

通过比较具有最大熵的分布与具有最大方差的分布，可以将这种区别鲜明地呈现出来。

N个二元随机事件会产生2N个可能的结果序列，并且，与之等价，我们可以通过提出N个“是或否”问题知悉结果序列。这也意味着，信息熵将不确定性水平（和信息内容）N分配给了2N个结果上的一个等可能分布。

熵在数学上等于概率与它们的对数之和的相反数。
$$
给定一个概率分布(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})，信息熵，H_{2}等于：
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$$
H_{2}(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})=-\sum_{i=1}^np_{i}log_{2}(p_{i})
$$

公理基础

上述的熵测度是唯一满足以下四个公理的测度：

  1. 对称性
    $$
    对于任何转置概率，都有连续函数，H(\sigma(\vec p))=H(\vec p)
    $$
  2. 最大化
    $$
    对于所有N，H(\vec p)在p_{i}=\frac{1}{N}处最大化
    $$
  3. 零性
    $$
    H(1,0,0,\dots,0)=0
    $$
  4. 可分解性
    $$
    若\vec p=(p_{11},p_{12},\dots,p_{nm})，则H(\vec p)=H_{2}(P_{1},P_{2},\dots,P_{n})+\sum_{i=1}^NH(Q_{P_{i}})
    $$
    $$
    其中，P_{i}=\begin{matrix} \sum_{j=1}^{m} \end{matrix}，且Q_{P_{i}}=(\frac{p_{i_{1}}}{P_{i}},\dots,\frac{p_{im}}{P_{i}})
    $$
    前三个条件很容易理解，它必定是连续的和对称的，而且在所有结果以相同的概率发生时最大化，同时在某些结果上等于零。

第四个条件可分解性则要求在具有m个子类别的n个类别上定义的概率分布的熵，等于各类别上的分布的熵与每个子类别的熵的总和。

香农证明，有一类熵测度是唯一满足这些公理的测度。

利用熵区分结果类别

  1. 平衡结果没有不确定性，因此其熵等于零。
  2. 周期性过程具有不随时间变化的低熵。
  3. 完全随机过程具有最大的熵。
  4. 复杂性具有中等程度的熵，因为复杂性位于有序性和随机性之间。

最大熵和分布假设

在很多情况下，我们建模时都必须把不确定性包括进来；因而作为建模者，必须对有关的分布做出假设。这里的原则是，我们要尽量避免做出任意特殊假设(ad hoc assumption)。

对于艺术珍品或稀有手稿的可能价值，正态分布却可能没有意义。在这些情况下，我们对决定它们价值的过程几乎一无所知。一种方法是假设一个具有最大不确定性的分布，即最大熵分布。

最大熵分布的形状取决于各种约束条件。

在某些情况下，我们可能知道分布的均值，也知道所有值都必定是正数。给定这些约束条件，最大熵分布必定具有长尾，因为我们要将分布置于更多的值上，从而必须使少数高值结果与许多低值结果保持平衡。不难证明，熵最大化分布是一个指数分布。

如果我们确定了均值和方差（并且允许出现负值）​，那么最大熵分布则是正态分布。

  1. 均匀分布：给定范围(a,b)​，使熵最大化。
  2. 指数分布：给定均值，使熵最大化。
  3. 正态分布：给定均值和方差，使熵最大化。

我们利用中心极限定理解释了物种的高度、重量和长度为什么会服从正态分布。在这里，我们再给出一个不同的、基于模型的解释：如果一种突变能够最大化熵（以便探索最好的生态位）​，并且假设平均规模和总离散度是固定的，那么规模的分布将会是正态的。

关键不在于这种最大熵方法是不是提供了一个更好的解释，而在于给定约束下最大化熵必定会导致正态分布。因此，当我们看到正态分布时，它可能是最大化熵的结果。

熵的实证含义和规范含义

事实上，我们可以将熵测度用于任何实际应用，可以用它来衡量对金融市场的干预是增加了还是减少了不确定性，可以检验选举、体育赛事或博彩中的结果到底是不是随机的。在这些应用中，熵都是作为一个实证的衡量标准来使用的。它告诉我们世界是什么样的，而不是世界应该是什么样。

同时，我们也可以通过设计来规范分类。建筑师克里斯托弗·亚历山大(Christopher Alexander)证明，诸如强中心、厚边界和非独立这类的几何属性，能够生成复杂的生活建筑、社区和城市。亚历山大渴望城市和生活空间中的复杂性。中央银行的规划者可能不太喜欢复杂性，在金融市场中，他们可能更喜欢可预测的均衡结果。不过幸运的是，使用模型，我们既可以探索复杂性，也可以讨论均衡的可能性。