与价值和权力有关的模型

两个标准：

“最后上车者价值”（last-on-the-bus value，简称LOTB），它等于一位行动者在团队已经形成的情况下加入团队时的边际贡献。
夏普利值(Shapley value)，它等于行动者遍历所有可能的加入团队的序列，加入团队时的边际贡献平均值。
⚠️：我们是在合作博弈模型的框架下定义这些度量标准的。合作博弈模型由一组博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为每个可能的博弈参与者子集分配一个集体收益。

合作博弈

合作博弈由N个博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为任何子集S⊆N分配一个值V(S)赋值。这些子集称为联盟。没有博弈参与者组成的联盟的价值等于零，即V(∅)=0。所有N个博弈参与者的价值V(N)等于博弈的总价值。

在合作博弈中，一个博弈参与者的“最后上车者价值”等于当他是最后一个加入团队的人时，他所能增加的价值。“最后上车者价值”刻画了边际博弈参与者的价值。如果价值函数表现出了规模收益递减的性质，那么“最后上车者价值”的总和将小于博弈的总价值；如果增加的价值表现出了规模收益递增的性质，那么“最后上车者价值”的总和将超过博弈的总价值。

给定合作博弈{N,V}，夏普利值的定义如下：
N个博弈参与者加入联盟的次序有N！个，让O代表这所有N！个次序。对于O中的每一个次序，将博弈参与者i增加的价值定义为当博弈参与者i加入时价值函数发生的变化。博弈参与者i的夏普利值等于他在O中所有次序上增加价值的平均值。

一个博弈参与者的夏普利值，等于他在所有可能加入的联盟的次序下对联盟边际贡献的平均值。换句话说，我们要在想象中按顺序将博弈参与者加入联盟中并计算每个博弈参与者为每个序列增加的价值。

夏普利值的公理基础

零性：如果博弈参与者为任何联盟增加的价值都等于零，那么该博弈参与者的价值等于零。
我们是通过对所有可能次序中博弈参与者的边际贡献来计算夏普利值的，因此任何永远不能增加价值的博弈参与者的夏普利值都为零。
公平性／对称性：如果两个博弈参与者对任何联盟都具有相同的增加价值，那么这两个博弈参与者具有相同的价值。
对任何两个相同的博弈参与者，即对每个联盟贡献相同的任两个博弈参与者，也必须分配给他们相同的夏普利值。
完全分配性：博弈参与者价值的总和等于博弈的总价值V(N)。
由于所有次序的价值总和等于博弈的总价值，所以夏普利值的总和也必定等于与博弈的总价值。
⚠️：“最后上车者价值”虽然满足前两个性质，但是却不满足最后一个公理。
可加性。给定两个定义在相同博弈参与者集合之上的博弈，它们的价值函数分别为V1和V2，那么在博弈(V1+V2)中，一个博弈参与者的价值等于该博弈参与者在V1和V2的价值的总和。
这个性质要求，如果合作博弈的价值函数可以分解为两个价值函数，并把每个分解出来的价值函数分配给一个不同的合作博弈，那么复合博弈中一个参与者的价值应该等于他在两个分博弈中的价值总和。

夏普利值的应用

替代用途测试 (alternative uses test)，在测试中，每个人都必须为一种常见的物品想出一些新的用途。这种测试的目的是根据人们想出来的用途或用途类别来衡量一个人的创造力。我们在计算夏普利值的过程中，发现了一个直观的评分规则。
夏普利-舒比克权力指数(Shapley-Shubik index of power)，在投票博弈中，每个博弈参与者（代表某个政党或官员）控制着固定数量的席位或投票权，而且要采取行动，就必须获得多数席位或支持票。在这种投票博弈中，夏普利值通常被称为夏普利-舒比克权力指数。通过对这个指数的计算，我们发现一个博弈参与者（政党）控制席位（投票权）的百分比与其权力之间并不存在直接的转换。
只拥有少量席位的政党往往可以掌握很大的权力。

[!NOTE] 小结

个体的夏普利值与为联盟增加的平均贡献相对应。它是衡量增加价值的一种标准。在投票博弈中，也可以将夏普利值解释为权力的一种度量。不过，夏普利值可能并不一定总是最好的衡量标准。假设威胁是可信的，那么在一个群体已经形成的情况下，个人的“最后上车者价值”可能是衡量权力的一个更好标准，因为它能够度量每个人通过威胁离开可以攫取多大利益。
在这些情况下，联盟会希望减少“最后上车者价值”。通过扩大联盟规模，可以创建出一个具有很高的总价值、同时“最后上车者价值”又足够低的联盟。不断加入新成员，会使现有成员变成“可以放弃的”，从而使“最后上车者价值”趋向于零。