线性模型

线性回归模型的目标是找到能够最小化到各数据点的直线。回归线越靠近数据，模型解释的数据越多，R2就越大（得到解释的百分比越大）​。如果数据全部都恰好位于回归线上，R2就等于100%。

统计学家使用p值来表示系数的显著性，p值等于基于回归的系数不为零的概率。p值为5%意味着数据由一个系数等于零的过程生成的概率为1/20。显著性的标准阈值是5%和1%​。但是，显著性并不是我们唯一关心的东西。一个系数可能是显著的，但是却很小。如果真的是这样，就可以对相关关系很有信心，但是变量的影响其实不大。又或者，也可能系数虽然不显著但却很大，这通常发生在有噪声数据或数据带有许多遗漏变量的情况下。

回归所揭示的是变量之间的相关关系，而不是因果关系。
PS：在我们能够用回归发现显著的相关性之前，有一种方法远比回归方法好，这种方法就是通常所称的“数据挖掘”(data mining)。
但是，数据挖掘存在识别与其他因果变量相关的某个变量的风险。数据挖掘还可能导致虚假的相关关系，即两个变量只是偶然相关。
我们可以通过创建训练集(training set)和检验集(testing set)来避免报告虚假相关。在训练集上发现的相关性，如果也存在于检验集上，就更可能是真实的。

对数据的这种依赖（通常意味着线性回归模型）​，可能会导致我们过于倾向边际行动(marginal action)，远离重要的新思想。

大系数与新现实

  1. 大系数：在采取行动的时候，最好选择具有较大系数的变量，而不要选择具有较小系数的变量。
    与此同时，​“大系数至上”这个思路建立在“保守主义”的基础上，它会使我们将注意力集中到较小的改进上，而无法再关注全新的政策。​
    “大系数至上”的另一个问题是大系数的大小对应于给定现有数据的边际效应。通常这种效应将会随着变量值的增大而减少。如果确实是这样，那么当我们试图利用它时，大系数就会变小。

  2. “大系数至上”思维方式的替代者是“新现实思维”​。例如，大系数思维可以拓宽道路、建造高利用率的车道以减少交通拥堵，那么新现实思维就相当于建造了铁路和公共汽车系统。当我们遇到重要的新思想时，可以用模型去探究它们是否可行。

总而言之，线性模型需要假定效应大小不变。线性回归为我们对数据进行第一轮加工提供了一个强大的工具，有了它，我们能够识别出变量的符号、大小和显著性。

线性模型只是一个开始，大多数有趣的现象都不是线性的。因此，回归模型通常会包括非线性项。虽然线性可能是一个强大而不切实际的假设，但是它至少提供了一个很好的起点。在给定了数据的情况下，可以使用线性模型来检验我们的直觉判断。基于此，我们可以构建更精细的模型，其中变量的影响会随着它的增加（收益递减）或变得更强大（正回报）而减弱。

非线性模型

凸函数

凸函数的斜率是递增的：函数值随度量值的增加而增加。

指数增长模型(exponential growth model)

指数增长模型描述的是一个变量的数量（通常是指人口或资源）与它的初始值、增长率和周期数之间的函数关系。
$$
时间t的资源值V_{t}，其初始值为V_{0}，且以速率R增长，可以写成如下方程：V_{t}=V_{0}(1+R)^t
$$
这个单方程模型在金融、经济、人口、生态以及技术等领域中都发挥着核心作用。

72法则 (Rule of 72)

我们假设增长率固定不变，可以利用指数增长方程推导出72法则。
如果一个变量在每个周期内以R（增长率小于15%）的百分比增长，那么：
$$
翻倍所需的周期数 \approx \frac{72}{R}
$$
72法则量化了最高增长率的累积效应。

如果人口是指数增长的，而粮食生产的增长模式是线性的，就会出现粮食危机。（马尔萨斯）
创新，颠覆了马尔萨斯担心的趋势。

半衰期模型 (half-life model)

具有正斜率的凸函数会以递增的值增加，具有负斜率的凸函数就会变得不那么陡峭，也就是说，最初具有较大负斜率的凸函数将逐渐走平。半衰期模型中的方程就是如此，这个模型可以用来刻画分解、折旧和遗忘。

在半衰期模型中，每H周期，数量就会衰减一半。因此，我们把H称为该过程的半衰期。
对于某些物理过程，半衰期是恒定的，例如碳-12。基于此，美国物理化学家威拉德·利比(Willard Libby)意识到，通过测量碳-14与碳-12的比例，就可以估计化石或人工制品的“年龄”​，这种技术被称为放射性碳年代测定法(radiocarbon dating)。

如果每H周期，剩余数量的一半会衰减，那么在t周期后，剩余的比例为：
$$
剩余比例 \approx (\frac{1}{2})^\frac{t}{H}
$$
半衰期模型的一个新应用是在心理学中。早期的心理学研究表明，人们几乎以接近固定不变的速度忘记信息。人们记忆的半衰期取决于事件的显著性。

凹函数

凹函数与凸函数相反。凹函数的斜率是递减的。具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点：当我们拥有的东西越来越多的时候，每个额外东西所能带来的价值会越来越少。

直观来说：对任何事物的消费越多，我们就会越不觉得享受，同时愿意为它付出的代价也就越少。

重要：当我们假设了凹性时，也就隐含地假设了对多样性和风险规避的偏好向。
如果人们的幸福曲线是凹性的，而且闲暇和金钱都在增加，那么人们就会更偏好休闲和金钱的组合，而不怎么喜欢只有金钱、没有闲暇或只有闲暇、没有金钱。而风险规避则意味着更偏好确定的有把握的事情而不怎么喜欢彩票，也就是不确定的事情。

凸函数情况下则相反。凸性意味着风险爱好：我们更喜欢的是极端值，而不是平均值。
例如，可以购买的股票数量是其价格的一个凸函数，因此，股票买家更喜欢价格波动。如果价格不断上涨和下跌，买家最终能够获得的股票比价格保持不变时获得的更多。

经济增长模型

柯布-道格拉斯模型 (Cobb-Douglass model)

产出是劳动力和资本的凹函数，而且从规模上看是线性的。 这个模型既可以应用于单个企业，也可以应用于行业或整个经济生产。

给定L个工人和K个单位资本，总产出如下所示：
$$
产出=常数 \times L^{a}K^{1-a}
$$
其中，a是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性。

索洛增长模型 (Solow Growth Model) 简化

经济体中的总产出由以下方程给出：
$$
产出=A \sqrt{L}\sqrt{K}
$$
其中，其中，L表示劳动量，K表示实物资本量，A表示技术水平。
长期均衡产出O由下面的方程给出：
$$
O^{*}=A(t)^{2}L\frac{s}{d}
$$
长期均衡产出随劳动力数量的增加、技术的进步、储蓄率的提高而增加，同时随折旧率的上升而下降。

产量随着劳动力数量的增加和储蓄率的提高而线性增长这个事实却着实令人惊讶。随着劳动力数量的增加，产出也会增加，投资也会增加，进而带来更高的产出。从长远来看，投资的正反馈恰好抵消了收益递减。

长期均衡产出也会随技术改进的平方而增加。因此，创新增加的产出要比线性增长更快。创新乘数(innovation multiplier)。
创新有两个效应。首先，创新直接增加产出；其次，创新间接导致更多的资本投资，从而导致产出再次增加。因此，创新是持续增长的关键。

当技术出现了一个突破时，技术参数的变化是相当缓慢的。直接效应的影响需要随着时间的推移显现。
注：“起大早，赶晚集”的俗语告诉我们，过早进入一个行业也不太行，合适的时机最重要。

国家的成功与失败
模型证明，资本积累可以实现快速增长，技术投资也可以。一个实物资本较少的落后国家，有可能通过新的资本投入进入技术前沿，从而实现难以置信的高速增长。

创新对长期增长来说是必不可少的，这种必要性也意味着一次性进口新技术有很大的局限性，而持续增长需要创新。

这些模型也表明，攫取和腐败，也就是政府将经济体的产出挪用于政府开支，会减少储蓄，进而削弱增长。对经济增长率的跨国比较研究的结果支持以下这些观点：减少攫取和腐败以及促进创新，都能推进经济增长。实现这些目标，需要一个强大但有限的中央政府来促进多元化。强大的中央政府能够保护产权、贯彻法治。多元主义能够阻止精英的俘虏，精英往往更喜欢现状，可能不会接受创新，因为创新往往可能具有很大的破坏性。

[!小结]
一旦包括了非线性，直觉就变得不够用了。利用模型，我们可以更好地思考非线性效应。
例如，直觉可以告诉我们影响的方向：储蓄的增加、劳动力的增加和技术创新可以加快增长。在模型的帮助下，这些见解会变得很清晰。如果没有模型，我们通常可以推断出上升和下降的内容，但缺乏对功能关系形式的理解。例如，其中的边际效应。