非线性模型

凸函数

凸函数的斜率是递增的：函数值随度量值的增加而增加。

指数增长模型(exponential growth model)

指数增长模型描述的是一个变量的数量（通常是指人口或资源）与它的初始值、增长率和周期数之间的函数关系。
$$
时间t的资源值V_{t}，其初始值为V_{0}，且以速率R增长，可以写成如下方程：V_{t}=V_{0}(1+R)^t
$$
这个单方程模型在金融、经济、人口、生态以及技术等领域中都发挥着核心作用。

72法则 (Rule of 72)

我们假设增长率固定不变，可以利用指数增长方程推导出72法则。
如果一个变量在每个周期内以R（增长率小于15%）的百分比增长，那么：
$$
翻倍所需的周期数 \approx \frac{72}{R}
$$
72法则量化了最高增长率的累积效应。

如果人口是指数增长的，而粮食生产的增长模式是线性的，就会出现粮食危机。（马尔萨斯）
创新，颠覆了马尔萨斯担心的趋势。

半衰期模型 (half-life model)

具有正斜率的凸函数会以递增的值增加，具有负斜率的凸函数就会变得不那么陡峭，也就是说，最初具有较大负斜率的凸函数将逐渐走平。半衰期模型中的方程就是如此，这个模型可以用来刻画分解、折旧和遗忘。

在半衰期模型中，每H周期，数量就会衰减一半。因此，我们把H称为该过程的半衰期。
对于某些物理过程，半衰期是恒定的，例如碳-12。基于此，美国物理化学家威拉德·利比(Willard Libby)意识到，通过测量碳-14与碳-12的比例，就可以估计化石或人工制品的“年龄”​，这种技术被称为放射性碳年代测定法(radiocarbon dating)。

如果每H周期，剩余数量的一半会衰减，那么在t周期后，剩余的比例为：
$$
剩余比例 \approx (\frac{1}{2})^\frac{t}{H}
$$
半衰期模型的一个新应用是在心理学中。早期的心理学研究表明，人们几乎以接近固定不变的速度忘记信息。人们记忆的半衰期取决于事件的显著性。

凹函数

凹函数与凸函数相反。凹函数的斜率是递减的。具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点：当我们拥有的东西越来越多的时候，每个额外东西所能带来的价值会越来越少。

直观来说：对任何事物的消费越多，我们就会越不觉得享受，同时愿意为它付出的代价也就越少。

[!NOTE] 个人经历
比如对一段感情，付出越多，收益越低；但与此同时，付出越多，预期越高。

重要：当我们假设了凹性时，也就隐含地假设了对多样性和风险规避的偏好向。
如果人们的幸福曲线是凹性的，而且闲暇和金钱都在增加，那么人们就会更偏好休闲和金钱的组合，而不怎么喜欢只有金钱、没有闲暇或只有闲暇、没有金钱。而风险规避则意味着更偏好确定的有把握的事情而不怎么喜欢彩票，也就是不确定的事情。

凸函数情况下则相反。凸性意味着风险爱好：我们更喜欢的是极端值，而不是平均值。
例如，可以购买的股票数量是其价格的一个凸函数，因此，股票买家更喜欢价格波动。如果价格不断上涨和下跌，买家最终能够获得的股票比价格保持不变时获得的更多。

经济增长模型

柯布-道格拉斯模型 (Cobb-Douglass model)

产出是劳动力和资本的凹函数，而且从规模上看是线性的。 这个模型既可以应用于单个企业，也可以应用于行业或整个经济生产。

给定L个工人和K个单位资本，总产出如下所示：
$$
产出=常数 \times L^{a}K^{1-a}
$$
其中，a是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性。

索洛增长模型 (Solow Growth Model) 简化

经济体中的总产出由以下方程给出：
$$
产出=A \sqrt{L}\sqrt{K}
$$
其中，其中，L表示劳动量，K表示实物资本量，A表示技术水平。
长期均衡产出O由下面的方程给出：
$$
O^{*}=A(t)^{2}L\frac{s}{d}
$$
长期均衡产出随劳动力数量的增加、技术的进步、储蓄率的提高而增加，同时随折旧率的上升而下降。

产量随着劳动力数量的增加和储蓄率的提高而线性增长这个事实却着实令人惊讶。随着劳动力数量的增加，产出也会增加，投资也会增加，进而带来更高的产出。从长远来看，投资的正反馈恰好抵消了收益递减。

长期均衡产出也会随技术改进的平方而增加。因此，创新增加的产出要比线性增长更快。创新乘数(innovation multiplier)。
创新有两个效应。首先，创新直接增加产出；其次，创新间接导致更多的资本投资，从而导致产出再次增加。因此，创新是持续增长的关键。

当技术出现了一个突破时，技术参数的变化是相当缓慢的。直接效应的影响需要随着时间的推移显现。
注：“起大早，赶晚集”的俗语告诉我们，过早进入一个行业也不太行，合适的时机最重要。

国家的成功与失败
模型证明，资本积累可以实现快速增长，技术投资也可以。一个实物资本较少的落后国家，有可能通过新的资本投入进入技术前沿，从而实现难以置信的高速增长。

创新对长期增长来说是必不可少的，这种必要性也意味着一次性进口新技术有很大的局限性，而持续增长需要创新。

这些模型也表明，攫取和腐败，也就是政府将经济体的产出挪用于政府开支，会减少储蓄，进而削弱增长。对经济增长率的跨国比较研究的结果支持以下这些观点：减少攫取和腐败以及促进创新，都能推进经济增长。实现这些目标，需要一个强大但有限的中央政府来促进多元化。强大的中央政府能够保护产权、贯彻法治。多元主义能够阻止精英的俘虏，精英往往更喜欢现状，可能不会接受创新，因为创新往往可能具有很大的破坏性。

[!NOTE] 小结
一旦包括了非线性，直觉就变得不够用了。利用模型，我们可以更好地思考非线性效应。
例如，直觉可以告诉我们影响的方向：储蓄的增加、劳动力的增加和技术创新可以加快增长。在模型的帮助下，这些见解会变得很清晰。如果没有模型，我们通常可以推断出上升和下降的内容，但缺乏对功能关系形式的理解。例如，其中的边际效应。

与价值和权力有关的模型

两个标准：

  1. “最后上车者价值”​（last-on-the-bus value，简称LOTB），它等于一位行动者在团队已经形成的情况下加入团队时的边际贡献。
  2. 夏普利值(Shapley value)，它等于行动者遍历所有可能的加入团队的序列，加入团队时的边际贡献平均值。
    ⚠️：我们是在合作博弈模型的框架下定义这些度量标准的。合作博弈模型由一组博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为每个可能的博弈参与者子集分配一个集体收益。

合作博弈

合作博弈由N个博弈参与者和一个价值函数组成。这个价值函数为任何子集S⊆N分配一个值V(S)赋值。这些子集称为联盟。没有博弈参与者组成的联盟的价值等于零，即V(∅)=0。所有N个博弈参与者的价值V(N)等于博弈的总价值。

在合作博弈中，一个博弈参与者的“最后上车者价值”等于当他是最后一个加入团队的人时，他所能增加的价值。​“最后上车者价值”刻画了边际博弈参与者的价值。如果价值函数表现出了规模收益递减的性质，那么“最后上车者价值”的总和将小于博弈的总价值；如果增加的价值表现出了规模收益递增的性质，那么“最后上车者价值”的总和将超过博弈的总价值。

给定合作博弈{N,V}，夏普利值的定义如下：
N个博弈参与者加入联盟的次序有N！个，让O代表这所有N！个次序。对于O中的每一个次序，将博弈参与者i增加的价值定义为当博弈参与者i加入时价值函数发生的变化。博弈参与者i的夏普利值等于他在O中所有次序上增加价值的平均值。

一个博弈参与者的夏普利值，等于他在所有可能加入的联盟的次序下对联盟边际贡献的平均值。换句话说，我们要在想象中按顺序将博弈参与者加入联盟中并计算每个博弈参与者为每个序列增加的价值。

夏普利值的公理基础

  1. 零性：如果博弈参与者为任何联盟增加的价值都等于零，那么该博弈参与者的价值等于零。
    我们是通过对所有可能次序中博弈参与者的边际贡献来计算夏普利值的，因此任何永远不能增加价值的博弈参与者的夏普利值都为零。

  2. 公平性／对称性：如果两个博弈参与者对任何联盟都具有相同的增加价值，那么这两个博弈参与者具有相同的价值。
    对任何两个相同的博弈参与者，即对每个联盟贡献相同的任两个博弈参与者，也必须分配给他们相同的夏普利值。

  3. 完全分配性：博弈参与者价值的总和等于博弈的总价值V(N)。
    由于所有次序的价值总和等于博弈的总价值，所以夏普利值的总和也必定等于与博弈的总价值。
    ⚠️：​“最后上车者价值”虽然满足前两个性质，但是却不满足最后一个公理。

  4. 可加性。给定两个定义在相同博弈参与者集合之上的博弈，它们的价值函数分别为V1和V2，那么在博弈(V1+V2)中，一个博弈参与者的价值等于该博弈参与者在V1和V2的价值的总和。
    这个性质要求，如果合作博弈的价值函数可以分解为两个价值函数，并把每个分解出来的价值函数分配给一个不同的合作博弈，那么复合博弈中一个参与者的价值应该等于他在两个分博弈中的价值总和。

夏普利值的应用

  1. 替代用途测试 (alternative uses test)，在测试中，每个人都必须为一种常见的物品想出一些新的用途。这种测试的目的是根据人们想出来的用途或用途类别来衡量一个人的创造力。我们在计算夏普利值的过程中，发现了一个直观的评分规则。

  2. 夏普利-舒比克权力指数(Shapley-Shubik index of power)，在投票博弈中，每个博弈参与者（代表某个政党或官员）控制着固定数量的席位或投票权，而且要采取行动，就必须获得多数席位或支持票。在这种投票博弈中，夏普利值通常被称为夏普利-舒比克权力指数。通过对这个指数的计算，我们发现一个博弈参与者（政党）控制席位（投票权）的百分比与其权力之间并不存在直接的转换。
    只拥有少量席位的政党往往可以掌握很大的权力。

[!NOTE] 小结

个体的夏普利值与为联盟增加的平均贡献相对应。它是衡量增加价值的一种标准。在投票博弈中，也可以将夏普利值解释为权力的一种度量。不过，夏普利值可能并不一定总是最好的衡量标准。假设威胁是可信的，那么在一个群体已经形成的情况下，个人的“最后上车者价值”可能是衡量权力的一个更好标准，因为它能够度量每个人通过威胁离开可以攫取多大利益。
在这些情况下，联盟会希望减少“最后上车者价值”​。通过扩大联盟规模，可以创建出一个具有很高的总价值、同时“最后上车者价值”又足够低的联盟。不断加入新成员，会使现有成员变成“可以放弃的”​，从而使“最后上车者价值”趋向于零。