李雅普诺夫函数与均衡

核心观念：如果能够为模型构建一个李雅普诺夫函数，那么模型必定会达到均衡。

$$
给定一个离散时间动态系统，它的转移规则由x_{t+1}=G(x_{t})组成。
$$
$$
对于实值函数F(x_{t})，如果对于所有的x_{t}，都有F(x_{t})≥M，而且存在一个A>0，那么
$$
$$
有F(x_{t+1})\leq F(x_{t})-A，如果G(x_{t})\ne x_{t}，如果对于G,F是一个李雅普诺夫函数，
$$
$$
那么从任何x0开始，必定存在一个t^，使G(x_{t^})=x_{t^*}，
即该系统会在有限时间内达到均衡
$$

逐底竞争博弈 (Race to the Bottom Game)

有N个博弈参与者，每个博弈参与者在每个时期都要提出一个支持水平，其取值范围为{0,1, …， 100}。提出了最接近平均支持水平2/3的博弈参与者可以获得那个期间的奖励。

局部多数模型

我们将局部多数模型中的李雅普诺夫函数定义为总体中的总不一致性(total disagreement)，即与相反状态的元胞相邻的所有元胞数量的总和。为了证明这个模型必定会达到均衡，我们必须先证明，如果一个元胞改变了自己的状态，那么总不一致性至少会下降一个固定的数量。

自组织活动模型

这个模型中由一群人和每个人可以选择去做的活动的集合组成。这个模型的关键假设是，每个人都更偏好不那么拥挤的活动，例如，更少人参加同一项活动意味着在健身房不用等待、在面包店和咖啡店不用排队。

定义：一个城市里，有A种活动可以参加，每一天都由L个时间段组成。在人口规模为M的城市中，每个人都要选定一个日程安排。在这里，日程安排是指这个人在L个时间段内分配L种活动（从一个更大的K种可能性的集合中）​。一个人要面对的拥挤水平则设定为等于同时选择同一种活动的其他人的数量。

为了证明这个模型是收敛的，我们要证明总拥挤度(total congestion)，也就是整个人群拥挤水平的总和满足李雅普诺夫函数的条件。

⚠️ 生活的智慧：错峰出行。

纯交换经济

纯交换经济由一个消费者集合组成，每个消费者都有自己的商品禀赋和偏好。我们要先证明，总幸福感(total happiness)总是按固定数量增加并具有最大值。根据假设，任何时候，只要双方完成交易，他们的幸福水平至少会提升与交易成本相当的数量。此外，由于每个人都拥有固定的商品禀赋，因此总幸福感有一个最大值。

外部性的存在意味着我们不能直接说系统是不是会达到均衡。例如，假设伊拉克与巴基斯坦达成协议，用自己的石油去交换巴基斯坦的核武器，那么这两个国家的领导人可能会因此而觉得更加幸福，但是从全球的角度来衡量，总幸福感肯定会下降，世界上其他国家可能会对伊拉克建立核武器库深感不安。其他国家的人所感受到的这种影响被称为负外部性(negative externality)。当市场上的交易包含了负外部性时，交易就不一定能提高总幸福感了。

⚠️ 李雅普诺夫函数在交易环境中是否存在，取决于负外部性的大小。

此外，我们无法构建李雅普诺夫函数，并不意味着模型或系统肯定不能达到均衡。一个著名的例子是所谓的“取一半或乘三加一法则”(HOTPO)，它也被称为考拉兹猜想(Collatz conjecture)。对于任何一个不到2^64的数字，​“取一半或乘三加一法则”都会止步于均衡。然而，没有人能够证明“取一半或乘三加一法则”是不是最后总能达到均衡。

[!NOTE] 小结
李雅普诺夫函数不仅可以帮助我们证明一个系统或模型能不能达到均衡，还可以告诉我们达到均衡的速度有多快。即便构建李雅普诺夫函数的努力遭到了失败，这种尝试也是有意义的。我们不能构建一个总是减少或总是增加的全局变量，因此，无法保证这些过程能够达到均衡。
回顾一下模型的7大用途——推理、解释、设计、沟通、行动、预测和探索，我们就会发现李雅普诺夫函数在每个用途上都有所帮助。如上所述，利用李雅普诺夫函数，我们可以推断出系统走向均衡的原因，还可以解释系统收敛到均衡的速度、设计信息系统（例如迪斯尼世界所采取的分时段游览的预约系统）​、采取行动（例如对办公桌进行交易是不可取的）​、沟通系统如何达到均衡的途径、预测系统达到平衡的时间以及进行探索。我们可以尝试提出假设和构建模型来解释一些令人惊讶的现象，例如自组织的城市。